можно ли найти синус в непрямоугольном треугольнике
Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике
Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.
Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):
Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Как найти синус любого целого угла
Этот вопрос мучает меня с того момента, как мы начали изучать тригонометрию. И спустя чуть больше года я нашел способ!
Порядок действий:
1) Найти синус и косинус 15°
2) Найти синус и косинус 18°
3) Зная синусы и косинусы 15° и 18°, найти синус 3° (используя формулу синуса разности аргументов)
4) Зная синус 3°, найти синус 1° (используя формулу тройного угла)
5) Зная синус 1°, мы можем найти синус любого целого угла (используя формулы двойного, тройного и т.д. углов)
Начнем с треугольника ACM. Пусть AC = 1.
Тогда: AM = 2, CM = √3.
Переходим к треугольнику AMB. Очевидно, что этот треугольник равнобедренный, значит: BM = AM = 2.
Заканчиваем треугольником ABC.
AC = 1, BC = MC + BM = 2 + √3. Мы знаем длины двух катетов, и необходимо найти гипотенузу. Искать будем по теореме Пифагора.
Нарисуем опять изначальный треугольник, только уже с известными сторонами.
Синус и косинус 15° успешно найдены!
Пункт 2. Найти синус и косинус 18°.
Тут я ничего вам авторского показать не могу, так что можете посмотреть видео как выводить синус 18°, а косинус можно найти из основного тригонометрического тожества
Не смотря на то, что видео не на русском языке там должно быть все понятно, а я буду использовать уже готовые значения синуса и косинуса 18°.
Пункт 3. Найти синус 3°.
Все вы знаете формулу синуса разности аргументов (я надеюсь).
В нашем случае α = 18°, а β = 15°. Говорить тут особо нечего, а просто писать и считать.
Для удобства я буду использовать следующие значения синуса и косинуса 15°.
(это тоже самое, что я вывел в П.1)
Тут даже сводить к общему знаменателю не надо, поскольку он и так общий. Сначала умножаем, потом вычитаем и в конце получаем выражение, на которое смотреть страшно!
Но если чуть чуть поиграться с этим выражением, то мы получим конфеточку.
Пункт 4. Найти синус 1°.
Будем использовать формулу синуса тройного угла
В нашем случае α = 1°.
Получаем кубическое уравнение относительно sin1° в каноническом виде.
Для удобства сделаем две замены, тогда наше уравнение имеет следующий вид:
(косинус 3° находим по основному тригонометрическому тождеству)
Теперь задание самым бешеным математикам: избавиться от мнимой части (если извлечь кубические корни, то для х1 мнимая часть сокращается, а для х2 и х3 она сократится при умножении на i√3).
И расставить корни в порядке убывания или возрастания, все равно sin1° будет посередине. Я делать этого не буду, т.к. это страшно и долго, и вообще моя задача показать сам процесс, а не выполнить его полностью.
Пункт 5. Находим синус любого целого угла по формулам синуса двойного, тройного и т.д. углов!
Если нашли ошибку или есть вопросы, то пишите в комментарии! А если хотите больше треша, то можете посмотреть два моих предыдущих поста про тригонометрию! (На первый пост не обращайте внимания, т.к. это была проверка как работает Пикабу!)
P.s. давайте соберём 100 плюсиков:)
Наука | Научпоп
6K постов 68.4K подписчиков
Правила сообщества
ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.
Основные условия публикации
— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.
— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.
— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.
— Видеоматериалы должны иметь описание.
— Названия должны отражать суть исследования.
— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.
Не принимаются к публикации
— Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.
— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.
— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.
— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.
— Попытки использовать сообщество для рекламы.
— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.
— Нарушение правил сайта в целом.
Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.
На вид довольно просто. А что такое синус и зачем его искать?
Чё т мне кажется, что кому нужно что-то точнее брадиса или калькулятора на смарте, юзают всякие матлабы и тому подобные специализированные среды.
Мне по жизни хватало точности в уме представить синусоиду и в уме же отмерить(ну там 0.2-0.3 примерно).Я не математик, радиотехник.
Почитай про ряд Тейлора для тригонометрических функций. Не благодари.
А нафига мне синус 33 градусов? Мне надо синус угла в 33 градуса 7 минут 28 секунд. Долго считать будете?
Зачем этим заниматься? Какая практическая польза от этого?
Давайте соберём 100 плюсиков и найдём от них синус.
А таблица Брадиса чем не устраивает?
Приветствую, автор! Смею вас разочаровать, выразить синус угла, не кратного трём невозможно. Есть теорема, к сожалению, не могу вспомнить, чьё имя носит (мне казалось, имя Ванцеля), которая это утверждает. Разумеется есть доказательство. Поищите в интернете, формулировка точно была в Википедии, но без доказательства. А что касается разрешения уравнений третей степени в радикалах, то тут у вас и кроется подвох. Дело в том, что уравнение с тремя действительными корнями не разрешается в ВЕЩЕСТВЕННЫХ радикалах. Это неприводимый случай. Для его решения используется метод Виета, что по сути, не решает вашу задачу, а сводит ответ к тригонометрической форме (посмотрите 1 глава в книге Колосова «Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики»). Именно по этой причине трисекция угла в общем виде не разрешима. И синус угла, не кратного трём, найти в вещественных радикалах невозможно. Что, кстати, не противоречит тому, что алгебраических чисел больше, чем чисел, выраженных в радикалах.
Смотрите, если AM = x, то AC = x sin a, MC = x cos a
Далее BM = x (равнобедренный треугольник), BC = x + x cos a
AB^2 = x^2 (sin a)^2 + x^ 2 (1+cos a)^2
(sin a/2)^2 = (sin a)^2 / [(sin a)^2 + (1+cos a)^2] = (sin a)^2 / [(sin a)^2 + 1+ 2 cos a + (cos a)^2] =
1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла
Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Синус, косинус произвольного угла
Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.
То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.
Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.
Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.
Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.
Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.
Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.
Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.
Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.