можно ли построить произвольный треугольник по заданным трем углам с помощью циркуля и линейки
Построение треугольника по трем элементам
Задачи на построение
Широкое распространение в геометрии получили задачи на построение. Суть этих задач состоит в следующем: при заданных начальных условиях нужно построить тот или иной геометрический объект при помощи линейки и циркуля. Разберем общие принципы решения данных задач:
Анализирование задачи. На этом этапе необходимо установить взаимосвязь между заданными условиями и объектом, который нужно изобразить. Результатом выполнения этого этапа является план решения задачи.
Построение. Согласно разработанного плана выполняется построение объекта.
Доказательство. На этом этапе необходимо доказать, что изображенная фигура полностью соответствует заданным условиям.
Сложно разобраться самому?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Изучение. На этом этапе выполняется анализ начальных условий и определение, при каких условиях задача решается одним способом, при каких двумя, а при каких – вовсе не решаема.
Разберем задачи на построение треугольника по трем различным начальным условиям.
Изображение треугольника, если задана одна сторона и два прилегающих к ней угла
2. Строим треугольник
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Изображение треугольника, если заданы три стороны
2. Строим треугольник:
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
4. Изучение. Построенные окружности имеют две точки пересечения, поэтому мы можем построить еще один треугольник, но так как он точно такой же, как и первый, можно считать, что решение этой задачи единственное. Учитывая то, что сумма двух сторон треугольника всегда больше, чем третья его сторона, можно сделать вывод, если это условие не будет выполнено для заданных сторон, то задача не будет иметь решение.
Изображение треугольника, если заданы две стороны и угол между ними
2. Строим треугольник:
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Построение треугольника по трём элементам
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Построение треугольника по трём элементам:
Задачи на построение:
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Построение треугольника по трём элементам.
Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:
1. Отрезок, равный данному.
2. Угол, равный данному.
Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.
Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.
Построение: описать способ построения.
Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.
Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.
Построить треугольник по трём заданным сторонам.
Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.
Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.
∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.
Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.
Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Дано: отрезок р, угол α.
Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Дано: отрезки р и q, угол α.
Можно ли построить произвольный треугольник по заданным трем углам с циркуля и линейки?
Ответы 2
«слове о полку игореве» мне нравятся практически все герои. основной персонаж здесь сам князь игорь святославич. и лично у меня он вызывает симпатию. возможно, многие его осудят за желание прославиться, за то, что он пошёл на половцев без подмоги. многие также осудят его и за излишнюю самоуверенность. ведь в результате он проиграл битву, потеряв своё войско, и сам оказался в плену. то есть его самоуверенность и желание прославиться сыграли с ним злую шутку. но, несмотря на всё это, я вижу игоря святославича достойным сыном отечества и настоящим патриотом своей родины.
меня восхищает его настоящее мужество и отвага, самоотверженное движение к цели. ведь он не только хотел славы, он также искренне стремился к тому, чтобы одержать победу над врагом. все мы в жизни совершаем ошибки, но ведь князь раскаялся в том, что причинил родной земле страдания, раскаялся в том, что был участником междоусобных воин.
как мудрый правитель и хороший наставник предстаёт перед нами князь святослав киевский. он имеет внутреннюю культуру, хорошо знаком с страны, её нравственными корнями. он призывает всех к объединению, к прекращению междоусобных войн, ратует за примирение. у меня этот герой вызывает только светлые чувства и эмоции.
также мне понравился и всеволод, который вместе с игорем пошёл на половцев. как и игорь, он отличался бесстрашием и не побоялся отправиться в поход на половцев. своей отвагой и преданностью всеволод вызвал у меня восхищение.
нельзя не упомянуть и о ярославне. это жена игоря. она безумно любила своего мужа и ждала его. она была готова сделать всё возможное, чтобы её возлюбленный вернулся целым и невредимым. такими искренними чувствами просто невозможно не восхищаться! в наше время нечасто встретишь такую верность.
к отрицательным героям произведения я, конечно, отношусь плохо. здесь такими представлены половцы и их ханы, они были врагами для наших земель и, конечно, относиться к ним хорошо нельзя. когда я читал это произведение, во мне как будто появился дух патриотизма, и мне захотелось пойти на половцев вместе с князем игорем, хоть природа и подавала не хорошие знаки.
Презентация по математике на тему: «Построение треугольника по трём элементам с помощью циркуля и линейки»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ Вебер_Е.А._Физмат_Построение треугольника по трем элементам.docx
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Истимисская средняя образовательная школа»
Тема урока : «Построение треугольника по трем элементам»
Конспект урока по геометрии
Автор: Вебер Евгения Алексеевна
Тема: Построение треугольника по трем элементам.
познакомить учащихся с задачами на построение;
сформировать умение решать простые задачи на построение;
расширить знания об истории геометрии.
воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;
воспитание интереса к истории математики, как науки.
развитие навыков самоконтроля;
формирование алгоритмического мышления
Задачи урока: повторить материал пройденных тем; разобрать алгоритмы
построения треугольника по трем элементам.
Оборудование: чертежные инструменты (циркуль, угольник);
мультимедийный проектор, компьютер.
Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Проверяет наличие домашней работы, отмечает отсутствующих учащихся. (слайд 2)
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело —
Очень быстро и умело
Например, в фигуре этой
Сколько разных? Рассмотри!
Все внимательно исследуй
И “по краю” и “внутри”.
Актуализация знаний учащихся.
Вопросы для актуализации знаний учащихся по теме треугольник: (слайд 3)
Какая фигура называется треугольником?
Какие виды треугольников вы знаете?
В чем заключается неравенство треугольника?
Известны стороны равнобедренного треугольника 6 см и 8 см. Чему равна третья сторона треугольника?
Существуют ли треугольники со сторонами 10 см; 15 см; 30 см?
Существуют ли треугольники со сторонами 11 см; 5 см; 6 см?
Изучение нового материала.
Добиться успеха в решении задач на построение поможет аккуратность и точность измерений, умение пользоваться чертёжными инструментами и знание способа построения треугольника. Одни из самых древних математических задач. По их поводу у математиков ряд договорённостей и ограничений. В соответствии с ними стороны треугольника задаются в виде отрезков, а не числами, определяющими их длину; углы задаются в виде геометрической фигуры – угла. При построении разрешается пользоваться лишь математической линейкой и циркулем. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную линию; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезок, даже если на ней имеются деления. Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.
Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине ХIХ века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики.
Сегодня мы познакомимся с тремя основными задачами на построение треугольника.
Построение треугольников только одной линейкой и циркулем сводится к решению 3 основных задач. (слайд 4)
Разобрать на доске и в тетрадях построение треугольника с данными сторонами a, b и углом hp. (слайды 5, 6, 7)
Разобрать на доске и в тетрадях построение треугольника со стороной a и углами hp и mn. (слайды 8, 9,10).
Разобрать на доске и в тетрадях построение треугольника с данными сторонами a, b,с. (слайды 11,12,13,14)
Закрепление нового материала.
Разобрать подробно решение № 291(в), 291(г), 288. (слайд 15)
Подведение итогов урока (рефлексия).
Мы изучили много нового, узнали какие задачи можно решить только с помощью циркуля и линейки.
Как построить треугольник по трем элементам?
У вас у каждого лежит лист с вопросами. Оцените свою работу на сегодняшнем уроке, выбрав один из предложенных вариантов ответа.
Оцените степень сложности урока.
Оцените степень вашего усвоения материала:
усвоил полностью, могу применить;
усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
Открытый урок «Построение треугольника по трём элементам» (9 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема: Построение треугольника по трем элементам.
Образовательные: научить учеников строить треугольник, равный данному, используя циркуль и линейку; из опыта практической деятельности учащиеся должны понять, что треугольники равны по трем элементам; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
Развивающие: расширить знания учащихся о задачах на построение;
сформировать умение решать задачи на построение треугольника по трем элементам;
расширить знания об истории развития геометрии;
формирование алгоритмического мышления.
воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;
воспитание интереса к истории математики, как науки.
Сегодня на уроке мы будем решать задачи на построение.
Сначала послушаем историческую справку:
Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.
Самые первые задачи на построение заключались в проведении прямых линий и построениях прямого угла.
К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др. Однако практические правила первых землемеров, архитекторов, астрономов еще не составляли настоящей геометрии, основанной на теоретических построениях и доказательствах.
Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.
Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения – от берега до корабля в море. Это он вычислил высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.
Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки, основанной на логических доказательствах.
Особенно сильно задачи на построение интересовали Платона, основателя знаменитой «Академии» в Афинах. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.
В математике есть специальные задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки. Если же в процессе построения используются другие чертежные инструменты, то такое построение не считается геометрическим.
Что же можно делать с помощью циркуля и линейки?
Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки.
С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку; можно отложить отрезок заданной длины.
Выполняя эти несложные операции, мы можем решать разные задачи на построение.
Давайте вспомним, какие задачи на построение вы решали:
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам;
построение угла, равного данному;
деление угла пополам.
Сегодня на уроке мы решим задачу построения треугольника по трем элементам.
3.Изучение нового материала.
Пишем тему урока «Построение треугольников по трем элементам».
Элементы треугольника- углы и стороны.
б) добиться успеха в решении задач на построение поможет аккуратность точность измерений, умение пользоваться чертёжными инструментами и знание способа построения треугольника.
Повторим ТБ при работе с циркулем:
Лежит с правой стороны (т.к. берём правой рукой) остриём к себе.
Без разрешения учителя не берём.
Передаем тупым концом.
Чертим – упор на остриё.
в) По поводу задач на построение у математиков есть ряд договорённостей и ограничений. В соответствии с ними стороны треугольника задаются в виде отрезков, а не числами, определяющими их длину; углы задаются в виде геометрической фигуры – угла.
в) решим следующие задачи на построение:
1) построение треугольника по трем сторонам;
2) построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам;
3) построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
а) Просмотр и обсуждение анимации со звуковым сопровождением «Построение треугольника по трём сторонам» (Уроки геометрии Кирилла и Мефодия, 7 класс. Задачи на построение, часть 1, кадр 4)
Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:
Учащиеся выполняют построение в тетради, 1 ученик комментирует решение (работа с тренажером).
3 ученика получают задание построить треугольник по заданным отрезкам:
1)а=2 см; в=3 см; с=6 см.
Доказательство единственности решения:
Так как прямую и точку на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (треугольники отличаются только положением на плоскости).
Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.
Например, невозможно построить треугольник по сторонам а=2 см, в=3 см, с=6 см
Задача 2. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними
Как и в первом случае, задача имеет единственное решение.
Решение задачи учащимися сопровождается презентацией.
в) Учитель информатики
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам с помощью компьютера, остальные дети слушают объяснение одного из учеников.
г) Физкультминутка (презентация)
4. Закрепление изученного.
5. Проверка усвоения изученного материала.
Тестирование на компьютере –часть учащихся (авторский тест)
1.Какими инструментами пользуемся при решении задач на построение
1. Циркуль и транспортир 2. Циркуль и угольник 3. Линейка и циркуль 4. Угольник и транспортир
2. Дан угол 40 градусов. Можно ли построить угол 20 градусов.
3. С помощью циркуля и линейки построен равносторонний треугольник АВС. Чему равен угол А?
1. 60 градусов. 2. 45 градусов. 3. 30 градусов.
4. Можно ли с помощью циркуля и линейки найти середину отрезка?
5. Сколько решений имеет задача построения треугольника по трем заданным сторонам?
1. 2 2. 3 3. 1 4.Бесконечное множество
Часть учащихся- фронтальная работа. Выполняют тестирование (Уроки геометрии Кирилла и Мефодия)
Обобщение всех полученных результатов, оценить работы учащихся за урок.
Мнения учащихся об уроке и перспективе применения полученных знаний.
Передайте свое настроение с помощью изображения треугольника.
Закончим урок словами великого учёного Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для развития наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать”.
Урок окончен. Молодцы дети – плодотворно поработали.