можно ли расставить числа
math4school.ru
Расстановки цифр и целых чисел, их преобразования
Немного теории
В решениях задач о конечных последовательностях из целых чисел, букв, фишек, расстановках их по окружности или в таблице сочетаются различные соображения, связанные с делимостью, комбинаторикой, оценками, использующими индукцию.
Задачи с решениями
1. Сто разных фишек положены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?
Так как разрешается менять местами лишь фишки, стоящие через одну, то фишка, стоящая на чётном месте, может оказаться лишь на чётном месте, поэтому, например, сотая фишка не может стать первой.
2. Дана таблица 4 на 4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
Ясно, что расположение семи звездочек, показанное на рисунке ниже, удовлетворяет условию задачи.
Если же звездочек шесть или меньше, то найдутся два столбца, в каждом из которых стоит не более одной звездочки. Вычеркнем оставшиеся два столбца. После этого останется не больше двух звездочек, которые можно вычеркнуть вместе со строками, в которых они стоят.
Замечание. Было бы интересно исследовать общую аналогичную задачу: какое наименьшее число звездочек можно расставить в таблице m на n, чтобы при вычеркивании любых k столбцов и t строк оставалась хотя бы одна звездочка. (Здесь k, t, m, n – натуральные числа, k Решение
Цифра а образует 9 пар (с каждой из девяти остальных цифр). Чтобы для всех этих пар нашлась сторона 45-угольника, занумерованная соответствующими цифрами, необходимо поставить а по крайней мере в пяти его вершинах. Так как цифр всего десять, то для их размещения необходимо 50 мест. Поэтому требуемое в условии размещение цифр невозможно.
4. а) Можно ли выписать в строчку 25 чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел – отрицательна?
б) Один человек каждый месяц записывал свой доход и расход. Может ли быть так, что за любые пять идущих подряд месяцев его общий расход превышал доход, а в целом за год его доход превысил расход?
–9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9.
Здесь шестнадцать чисел равны 5 и девять чисел равны –9. Очевидно, что сумма любых трёх соседних чисел равна 1, а сумма всех 25 чисел равна –1.
2, 2, 2, 2, –9, 2, 2, 2, 2, –9, 2, 2.
Здесь выписаны подряд (с учетом знака) разности между доходами и расходами человека (сальдо) за каждый месяц года. Мы видим, что сумма любых пяти последовательных чисел выписанной цепочки отрицательна, равна –1, а в целом за год сумма всех чисел положительна, равна 2.
Замечание. Обобщение рассмотренных задач: в строчку выписано n чисел, при этом сумма любых k соседних чисел положительна (отрицательна); может ли в такой ситуации сумма всех n чисел быть отрицательной (положительной)? Ответ здесь такой: если n кратно k, то этого быть не может, а если n не делится на k, то может. В задаче а) n = 25, k = 3, в задаче б) n = 12, k = 5.
5. Можно ли на окружности расположить числа
а) Заметим, что никакие два из чисел 0, 1, 7, 8, 9 не могут стоять рядом. Значит, они должны стоять через одно, а остальные пять чисел – между ними. Однако число 2 не может оказаться ни на одном из пяти оставшихся мест, ведь рядом с ним из выписанных чисел может стоять только 7.
б) Никакие два из чисел 1, 2, 3, 11, 12, 13 не могут стоять рядом. Следовательно, в шесть промежутков между ними надо поставить остальные семь чисел. В одном из этих промежутков будут два числа из оставшихся, в остальных по одному. Рассмотрим теперь числа 4 и 10. Только 1 может стоять рядом с 4 и только 13 рядом с 10. Тогда 4 и 10 должны стоять рядом, но это противоречит условию.
а) Чтобы получить требуемую расстановку, в одной половине строки запишем четные числа, а в другой – нечетные. При этом полусумма любых двух чисел из разных половин будет не целой и поэтому не содержится между ними. Затем с первой и второй половинами проделаем аналогичную процедуру: каждую из них разобьем на две четверти и разместим в них числа вида 4k, 4k+2, 4k+1 и 4k+3 соответственно: при этом полусумма чисел из разных четвертей в левой половине будет нечетной, а в правой – четной и поэтому не содержится между ними, далее разобьем каждую четверть пополам, причем роль «четных» и «нечетных» чисел теперь будут играть числа с разными остатками от деления на 8 и так далее. В итоге получится такая расстановка:
8, 24, 16, 32, 4, 20, 12, 28, 6, 22, 14, 30, 2, 18, 10, 26,
7, 23, 15, 31, 3, 19, 11, 27, 5, 21, 13, 29, 1, 17, 9, 25.
б) Для того чтобы доказать это утверждение для любого количества N чисел, достаточно доказать его для N = 2 n (лишние числа можно выбросить; например, из расстановки 128 = 2 7 чисел можно выбросить числа большие 100 и получить нужную расстановку N = 100 чисел). Основная идея уже показана в решении а); более формально и коротко можно изложить доказательство как индукцию по n.
Для n = 1 и n = 2 утверждение очевидно: годятся расстановки (1, 2), (2, 4, 1, 3).
7. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Расположение такого количества фишек ясно из рисунков 1 и 2. Доказательство того, что меньшим числом обойтись нельзя, проще для четного n; на каждой прямой, параллельной одной диагонали, должно стоять по фишке, а на самой диагонали – две (в углах).
Другое доказательство: на каждой показанной на рисунках пунктиром прямой должно стоять по фишке. Именно это доказательство переделывается на случай нечетного n (рисунок 2): кроме 2n–2 пунктирных прямых (на каждой – по фишке), следует рассмотреть еще шесть прямых, соединяющих центры клеток A, B, C, D; на них нужно потратить еще не менее 3 фишек.
Ответ: а) 16 фишек при n = 8; б) 2n фишек при четном n, 2n+1 – при нечетном n.
Сформулируем шесть вопросов, ответы на которые позволяют узнать распределение чисел от 1 до 64 по клеткам шахматной доски.
Первый вопрос: «Назовите множество А всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 3-й, 4-й горизонталей доски, – объединение множеств М1, М2, М3, М4».
Заметим, что после ответа на этот вопрос становится известным не только множество А, но и множество A’ всех чисел, записанных в клетках 5-й, 6-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М5, М6, М7, М8.
Второй вопрос: «Назовите множество В всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 5-й, 6-й горизонталей доски, – объединение множеств М1, М2, М5, М6».
После ответа на этот вопрос становится известным и множество B’ всех чисел, записанных в клетках 3-й, 4-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М3, М4, М7, М8.
Третий вопрос: «Назовите множество С всех чисел, записанных в клетках 1-й, 3-й, 5-й, 7-й горизонталей доски, – объединение множеств М1, М3, М5, М7».
Если известно множество С, то, очевидно, известно и множество C’, являющееся объединением множеств М2, М4, М6, М8.
9. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них – точные квадраты?
Ответ: да, существуют.
10. Правильный шестиугольник разбит на 24 треугольника. Во всех 19 узлах фигуры, показанной на рисунке
записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 треугольников, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания, если мы будем считать против часовой стрелки.
Пусть числа а и b (а > 31 (тогда n = N – (n + m) > 31 – 24 = 7).
Стрелки, отвечающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведомо лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутрь. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы все большее число.) Итак, N > 30.
Задачи без решений
1. Какое максимальное число дамок можно расставить на чёрных полях шахматной доски размером 8 на 8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?
2. Можно ли вершины куба занумеровать различными трёхзначными числами, составленными из цифр 1 и 2 так, чтобы номера любых двух соседних вершин различались не менее чем в двух разрядах?
4. На листе клетчатой бумаги размером 50 на 50 клеток в каждой клетке записано число. Известно, что в каждых четырёх клетках, которые можно покрыть фигурой вида
сумма чисел равна 4. Докажите, что каждое число равно 1.
5. В концах диаметра окружности стоят единицы. Каждая из получившихся полуокружностей делится пополам, и в её середине пишется сумма чисел, стоящих в концах (первый шаг). Затем каждая из четырёх получившихся дуг делится пополам, и в её середине пишется число, равное сумме чисел, стоящих в концах дуги (второй шаг). Такая операция проделывается n раз. Найдите сумму всех записанных чисел.
Можно ли расставить числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 в таком порядке, чтобы между единицами оказалась одна цифра, между двойками – две, между тройками – три, а между четверками – четыре цифры?
Можно ли расставить числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 в таком порядке, чтобы между единицами оказалась одна цифра, между двойками – две, между тройками – три, а между четверками – четыре цифры?
У меня получился ответ : 41312432.
Сколько таких чисел можно записать?
Поможете?
Нужно написать восьмизначное число использовав цифры 1 2 3 4 по два раза!
В котором между единицами стоит одна цифра, между двойками две цифры, между тройками три цифры, а между четвёрками четыре : ) Заранее спасибо, удачи)).
Заранее спасибо за помощь.
Какова должна быть последняя цифра пятизначного числа делящегося на 13 если первые четыре цифры этого числа четверки?
Какова должна быть последняя цифра пятизначного числа делящегося на 13 если первые четыре цифры этого числа четверки.
Восьми цифровое натуральное число записано двумя единицами, двумя двойками, двумя тройками и двумя четверками?
Восьми цифровое натуральное число записано двумя единицами, двумя двойками, двумя тройками и двумя четверками.
Сколько таких чисел можно записать?
Натуральное число составлено из 8 цифр и обладает следующими свойствами : а) число записано двумя цифрами 1, двумя цифрами 2, двумя цифрами 3 и двумя цифрами 4 ; б) две единицы разделены одной цифрой,?
Можно ли расставить числа
а) Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105.
б) Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1?
в) Какое наибольшее количество различных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60?
б) Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа 300. Поскольку 
делителей всего 
включая 1 и 300. Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться 300, поэтому рядом с числом 1 может стоять только 300 и число 1 не может находиться в круге. Среди делителей числа 300 есть 6 делителей, кратных 2 и не кратных 4, 6 делителей, кратных 5 и не кратных 25, и 2 делителя, кратных 10 и не кратных 4 и 25. Поэтому 10 чисел среди делителей числа 300 кратны 2 или 5 и не кратны их квадратам. Среди 8 чисел, выписанных в круг, не будет числа 1, поэтому там будет хотя бы одно число, кратное 2 или 5 и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу (2 или 5), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше 1.
в) Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа 60. У числа 
всего 12 делителей, считая 60 и 1. Среди этих делителей есть простое число 2, на квадрат которого делится 60. Рядом с числом 2 может стоять только число 60, чтобы их наименьшее общее кратное равнялось 60 (число, стоящее рядом с 2, должно делиться и на 4, и на 3, и на 5), поэтому число 2 не может быть написано. Рядом с числами 5 и 10 могут быть написаны только числа 12 и 60, поэтому если в круге больше 4 чисел, то 5 и 10 не могут одновременно находиться в круге. Аналогично 3 и 6 не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа 20 и 60. Значит, всего может быть выписано в круг не более 8 чисел. Пример чисел 60; 6; 20; 30; 4; 15; 12; 10 показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно 8.
Ответ: а) Например, 105; 3; 35; 21; 5; б) нет; в) 8.
Можно ли расставить числа
Задача 1: Можно ли треугольник с углами 105, 15, 60 разрезать на три равнобедренных?
Решение: Можно. Отрезаем равносторонний треугольник, остается треугольник с углами 45, 120 и 15 градусов. Затем отрезаем треугольник с углами 15, 15 и 150 градусов. Остается треугольник с углами 30, 30 и 120 градусов.
Задача 2: Дан равноугольный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что если AB = DE, BC = EF и CD = FA, то диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Решение: Все углы шестиугольника равны по 120 градусов. Доказать, что AC = DF, BD = EA, тогда четырехугольники ACDF и BDEA – параллелограммы, диагонали которых пересекаются в одной точке.
Задача 3: На крайней правой клетке доски 1 × 22 стоит фишка. Два игрока по очереди двигают эту фишку (вправо или влево) на любое число клеток, которое еще не встречалось при выполнении предыдущих ходов. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Решение: Выигрывает первый. Своим первым ходом он должен поставить фишку на крайнюю левую клетку доски (ход на 21 клетку), а затем, на каждый ход соперника, отвечать ходом, дополняющим величину хода соперника до 21 (например, 14 + 7 = 21). Таких пар ходов 10.
Задача 4: Петя пытается расставить в таблицу 4 × 6 различные натуральные числа, не превосходящие 30 так. чтобы каждая пара чисел в клетках с общей стороной имела общий делитель больше 1. Докажите, что это ему не удастся.
Задача 5: Докажите, что последняя ненулевая цифра числа 1998! – четна.
Решение: Поскольку в числе 1998! двоек больше, чем пятерок, то не все они в произведении дадут 0.
Решение: Нельзя. Назовем вороных и гнедых коней черными, а соловых и каурых – белыми, тогда по условию черные не должны бить белых и наоборот. У нас есть маршрут между любыми двумя клетками. Пройдем по нему от клетки, занятой черным конем, до клетки, занятой белым конем. Где-то на маршруте цвет коня сменится, т.е. найдутся белый и черный кони, которые бьют друг друга.
Задача 7: На 20 карточках написаны натуральные числа от 1 до 20. Из этих карточек составили 10 дробей. Какое наибольшее число этих дробей может иметь целые значения?
Решение: Числа 11, 13, 17, 19 не имеют простых делителей среди чисел от 1 до 20, поэтому как минимум две дроби с участием этих чисел будут несократимыми. Таким образом 19/17 и 11/13 не целые. Остальные 8 могут быть целыми. 15/5, 9/3, 18/6, 16/8, 12/4, 20/10, 14/7, 2/1.
Задача 8: Можно ли расставить по кругу 8 чисел так, чтобы сумма любых 3 подряд идущих чисел была положительна, а сумма любых 5 подряд идущих – отрицательна?
Решение: Допустим, что такая расстановка возможна. Расставим по кольцу 24 числа, повторив искомые 8 чисел три раза. Тогда сумма всех чисел на кольце (исходном) положительна. Теперь расставим по кольцу 40 чисел, повторив искомые 8 чисел пять раз. Тогда сумма всех чисел на исходном кольце отрицательна. Получено противоречие. Ответ: Нельзя