Можно складывать корни между собой
Правила сложения квадратных корней
Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».
Что такое корень
Проще всего объяснить это на примере квадратного корня. В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя. Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9.
Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.
Корни бывают следующих типов:
И так далее. В качестве степени может выступать любое число.
Правила сложения
Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом. Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу. Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся.
Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга. Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:
Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений. Таким образом, он извлекается уже из этой суммы.
Алгоритм сложения
Для того чтобы правильно решить простейшую задачу, необходимо:
Что такое подобные корни
Чтобы правильно решить пример на сложение, необходимо, в первую очередь, подумать о том, как можно его упростить. Для этого нужно обладать базовыми знаниями о том, что такое подобие.
Подобными принято считать корни, у которых один и тот же показатель, а также одно и то же числовое выражение.
Умение определять подобные помогает быстро решать однотипные примеры на сложение, приводя их в упрощенный вид. Чтобы упростить типовой пример на сложение, необходимо:
После этого упрощенный пример обычно легко поддается решению.
Для того, чтобы правильно решить любой пример на сложение, необходимо четко представлять себе основные правила сложения, а также знать о том, что такое корень и каким он бывает.
Иногда такие задачи с первого взгляда выглядят очень сложно, но обычно они легко решаются путем группировки подобных. Самое главное — практика, и тогда ученик начнет «щелкать задачи, как орешки». Сложение корней — один из самых важных разделов математики, поэтому учителя должны отводить достаточно времени на его изучение.
Видео
Разобраться в уровнениях с квадратными корнями вам поможет это видео.
Сложение и вычитание корней
Действие сложения и вычитания квадратных корней возможно лишь при условии одинаковости подкоренных выражений слагаемых.
Сложение корней, формулы
Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:
\(m\sqrt a+n\sqrt a=\left(m+n\right)\sqrt a\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:
Пример
После упрощения исходное выражение приобретает вид:
Подкоренные выражения между собой не суммируются и не вычитаются. При этом выражения под одним корнем складываются и вычитаются как обычные числа.
Вычитание корней, формулы
При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:
\(m\sqrt a-n\sqrt a=\left(m-n\right)\sqrt a\)
Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу. Для этого используют тот же алгоритм, что и перед сложением.
Пример
Сложение корней со степенями
Складывание и вычитание корней с разными степенями, но одинаковым основанием имеет следующую последовательность:
Допустим, надо решить данное выражение:
Для начала проведем процедуру упрощения:
\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а=12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3\)
\(12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3=12\times\sqrt
При приведении двух подобных членов к общему показателю корневого числа применяется одно из свойств корней. Оно звучит так: при умножении степени основания и показателя корня на одинаковое число вычисление корневого выражения не поменяется.
Показатели степени корней складываются только при умножении.
Примеры решения задач
Задача №1
По свойству квадратного корня:
Для выведения из модуля необходимо узнать знак получившегося выражения:
Задача №2
Из основного свойства квадратного корня:
Раскроем модули в промежутке \(2\leq а\leq4\) :
Следовательно, \(\vert а-2\vert+\vert а-4\vert=а-2+4-а=2\)
Какие трудности ждут тех, кто взялся выполнять сложение корней?
Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.
Что такое математический корень?
Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.
Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.
Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.
Какие действия с ними можно выполнять?
По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.
И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.
По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?
Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:
Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.
Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.
Теперь к правилам
В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.
Рекомендация: после разложения на простые множители нужно сделать проверку. То есть умножить их друг на друга и проверить, получается ли исходное значение.
Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.
Первое задание
Вычислить значение выражений:
а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.
Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:
Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:
В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.
б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:
в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:
Пример с дробными выражениями
На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:
Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:
Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.
Корень и его свойства
Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.
Определение «Корень»
Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).
Формула: √ a 2 = a
Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.
Извлечение корней: примеры
Найти корень из числа можно одним из следующих способов:
Приведение корней с разными показателями
Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.
Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.
Корень: сложение и вычитание корней
Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.
Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.
Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
Корень: умножение
Умножение корней без множителей
Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2
Умножение корней с множителями
При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6
Корень: деление
Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.
Деление корней без множителей
Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7
Деление квадратных корней с множителями
Примеры для практики
Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«